Skaičių teorija
Dalyko anotacija lietuvių kalba
Įgyjamos klasikinės skaičių teorijos žinios bei formuojami jų taikymo įgūdžiai. Studentas tai padarys studijuojamas sveikųjų skaičių dalumo teoriją (skaičiavimo sistemos, bendrasis didžiausiasis daliklis ir bendrasis mažiausiasis kartotinis, pirminiai skaičiai, aritmetinės funkcijos, grandininės trupmenos) ir lyginių teoriją (Oilerio funkcija, likinių sistemos, Oilerio ir Ferma teoremos, lyginiai su nežinomaisiais, laipsniniai likiniai).
Dalyko anotacija užsienio kalba
Acquire knowledge of classical number theory, and form the skills of them application. Students will study the theory of numbers divisibility (numerical systems, greatest common divisor, least common multiple, prime numbers, arithmetical functions, continued fractions) and the congruence theory (Euler totient function, residue systems, Euler and Fermat theorems, congruence with unknowns, power residues systems).
Būtinas pasirengimas dalyko studijoms
Vidurinės mokyklos matematikos programos žinios.
Dalyko studijų rezultatai
1. Žinos ir suvoks pagrindines klasikinės skaičių teorijos sąvokas.
2. Gebės parinkti tinkamiausią metodą praktinių uždavinių sprendimui.
3. Žinos ir gebės nustatyti aritmetinių funkcijų tarpusavio ryšius.
4. Demonstruos gebėjimą formuluoti ir įrodyti klasikinės skaičių teorijos teiginius.
Dalyko turinys
1. Sveikųjų skaičių dalumo teorija.
1.1. Pagrindinės sąvokos ir teoremos. Dalumo požymiai.
1.2. Skaičiavimo sistemos.
1.3. Didžiausias bendrasis daliklis.
1.4. Mažiausias bendrasis kartotinis.
1.5. Pirminiai ir sudėtiniai skaičiai. Tarpusavyje pirminiai skaičiai.
1.6. Kanoninis skaidinys.
1.7. Grandininės trupmenos.
2. Svarbiausios skaičių teorijos funkcijos.
2.1 Sveikoji ir trupmeninė skaičiaus dalis.
2.2 Aritmetinės ir multiplikatyviosios funkcijos.
2.3 Natūraliųjų skaičių daliklių skaičius ir suma.
2.4 Miobuso funkcija.
2.5 Oilerio funkcija.
3. Lyginiai.
3.1 Lyginio apibrėžimas ir savybės.
3.2 Veiksmai su lyginiais.
3.3 Likiniai. Likinių žiedas.
3.4 Likinių sistemos.
3.5 Oilerio ir Ferma teoremos.
4. Lyginiai su vienu nežinomuoju.
4.1 Pagrindinės sąvokos.
4.2 Pirmojo laipsnio lyginiai.
4.3 Algebrinių lyginių sprendimas.
4.4 Pirmojo laipsnio lyginių sistemos.
4.5 Lyginiai su pirminiu moduliu.
4.6 Lyginiai su sudėtiniu moduliu.
4.7 Diofantinės lygtys.
5. Aukštesniųjų laipsnių likiniai.
5.1 Rodiklis. Indeksas.
5.2 Primityviosios šaknys.
5.3 Sisteminės trupmenos.
5.4 Periodo ilgis.
6. Skaičių teorijos taikymai kituose moksluose.
Dalyko studijos valandomis
Paskaitos 45 val.
Praktiniai darbai 30 val.
Savarankiškas darbas 85 val.
Iš viso: 160 val.
Studijų rezultatų vertinimas
Koliokviumas (25 %), praktiniai užsiėmimai (25 %: du kontroliniai darbai po 12.5 %), egzaminas (50%).
Literatūra
1. 2019 R. Kačinskaitė, Trumpi skaičių teorijos paskaitų užrašai VDU Moodle
2. 1990 K. Bulota, P. Survila. Algebra ir skaičių teorija 2. Vilnius: Mokslas
3. 1995 R. Skrabutėnas, P. Survila. Algebros ir skaičių teorijos uždavinynas. Vilnius: Mokslo ir enciklopedijų leidykla
4. 2004 K.H. Rosen. Elementary Number Theory: and Its Applications. Addison-Wesley
Papildoma literatūra
1. 2001 J.K. Strayer. Elementary Number Theory Waveland Pr Inc.
2. 2006 W.A. Coppel. Number Theory: An Introduction to Mathematics Springer Verlag
3. 2012 Ab. Kumar. Theory of Numbers https://ocw.mit.edu/courses/mathematics/18-781-theory-of-numbers-spring-2012/lecture-notes/
4. 2009 P.J. Cameron. A Course on Number Theory http://www.maths.qmul.ac.uk/~pjc/notes/nt.pdf
