Mato ir integralo teorija

Dalyko anotacija lietuvių kalba

Studentas bus susipažinęs su analiziniais matematikos metodais, kurie pagilina ir praplečia realaus kintamojo funkcijų teorijos žinias. Kursas apima aibių teoriją (sekos, galia, realiųjų skaičių topologija ir funkcijų tolydumas); mato teoriją (sigma-algebros, matai, mačiosios aibės, veiksmai su matais); integralo teoriją (mačius atvaizdžius, mačias funkcijas, tam tikrų funkcijų integravimą); konvergavimo rezultatus (konvergavimo tipus, ryšius tarp skirtingų konvergavimų); Lebego matą Rn erdvėje.

Dalyko anotacija užsienio kalba

Students are introduced to analytic techniques of mathematics, deepening and extending the knowledge of real variable functions theory. Course covers sets theory (sequences, including cardinality, real numbers topology and continuity of functions); measure theory (sigma-algebras, measures, measurable spaces, operations on measures); integration theory (measurable mappings, measurable functions, integrating certain functions); convergences results (types of convergence; relations between different types of convergence); Lebesgue measure on space Rn.

Būtinas pasirengimas dalyko studijoms

Matematinė analizė, Algebra, Geometrija

Dalyko studijų rezultatai

1. Supras pagrindinių aibių, mato ir integralo teorijos sąvokų esmę ir atpažins ryšius tarp jų.
2. Suvoks ir įrodys pagrindinius mato ir integralo teorijos teiginius.
3. Identifikuos ir spręs uždavinius naudojant matematinės analizės, algebros, geometrijos ir t.t. objektų funkcinius ryšius, taip pat taikant įvairius metodus.

Dalyko turinys

1. Veiksmai su aibėmis. Aibių atvaizdžiai. Galia. Aibių sistemos.
2. Tolydžiosios funkcijos. Laiptuotos funkcijos. Monotoninės funkcijos. Absoliučiai tolydžios funkcijos.
3. Neapibrėžtinis ir apibrėžtinis integralai.
4. Rymano ir Styltjeso integralai.
5. Kai kurios laiptuotų funkcijų savybės.
6. Lebego integralas.
7. Kartotinių integralų taikymai.
8. Aibių klasės.
9. Aibės su matu.
10. Mato pratęsimas.
11. Lebego-Styltjeso matas tiesėje. Skirstinio funkcijos.
12. Matūs atvaizdžiai ir realiosios mačiosios funkcijos.
13. Konvergavimas beveik visur ir pagal matą.
14. Funkcijos integralas.
15. Lp erdvės.

Dalyko studijos valandomis

Paskaitos 45 val.
Praktiniai darbai 30 val.
Savarankiškas darbas 85 val.
Iš viso: 160 val.

Studijų rezultatų vertinimas

Koliokviumas (25 %), praktinis darbas (25 %: du kontroliniai darbai, kiekvienas po 12.5 %), egzaminas (50%).

Literatūra

1. 1998 V. Mackevičius. Integralas ir matas Vilnius: TEV
2. 2011 T. Tao.
An Introduction to Measure Theory Providence RI: AMS
3. 2006 M.E. Taylor. Measure Theory and Integration Providence RI: AMS
Papildoma literatūra
1. 2016 D. A. Salamon. Measure and Integration European Mathematical Society