Funkcinė analizė

Dalyko anotacija lietuvių kalba

Studentai bus susipažinę bei gebės operuoti pagrindinėmis mato ir integralo teorijos bei funkcinės analizės sąvokomis, žinos pagrindines metrines erdves ir mokės tikrinti jų savybes; gebės apibrėžti sutraukiančius atvaizdžius, įdėtųjų rutulių sąvoką ir su ja susijusius metrinių erdvių separabilumą, kompaktiškumą, kompaktiškumo sąlygas ir nejudamo taško principą; supras įvairias sąvokas tiesinėse ir normuotose erdvėse; gebės įrodyti ir taikyti funkcinės analizės pagrindines teoremas.

Dalyko anotacija užsienio kalba

Acquiring knowledge of measure and integral theory as well functional analysis, the student operates with main terms of mentioned topics, knows main metric spaces and verifies their properties; determinates and conceives the conception of the embedded balls and relates with this fact the separability, compactness, conditions for compactness and fixed point principle; conceives various terms of linear and normed spaces; proves and applies main theorems of functional analysis.

Būtinas pasirengimas dalyko studijoms

Matematinė analizė, Algebra, Skaičių teorija, Geometrija, Diferencialinės lygtys, Kompleksinio kintamojo funkcijų teorija, Tikimybių teorija.

Dalyko studijų rezultatai

1. Pagrindinių mato ir integralo teorijos bei funkcinės analizės terminų ir ryšių tarp jų suvokimas formuluojant ir įrodant teiginius.
2. Erdvės tipo identifikavimas, pagrindinių tokių erdvių savybių apibrėžimas.
3. Uždavinio identifikavimas ir, funkcinių ryšių tarp algebros, matematinės analizės, tikimybių teorijos, geometrijos, kompleksinio kintamojo funkcijų teorijos ir t.t. objektų taikymas bei įvairių metodų iš šių matematikos šakų naudojimas sprendžiant tokį uždavinį.
4. Savo darbo įsivertinimas ir komandinio darbo rezultatų įtakos literatūros analizės pristatyme suvokimas.

Dalyko turinys

1. Mato ir integralo teorijos elementai.
1.1. Aibių veiksmai. Aibių atvaizdavimas. Aibės galia.
1.2. Aibių sistemos. Aibių sekos riba.
1.3. Mato sąvoka. Elementariųjų aibių matas. Mačiosios aibės.
1.4. Mačiosios funkcijos.
1.5. Lebego matas.
2. Metrinės erdvės.
2.1. Metrinės erdvės apibrėžimas. Sekų ir funkcijų erdvės.
2.2. Metrinių erdvių aibių ir taškų klasifikacija, atvaizdžiai.
2.3. Pilnosios metrinės erdvės. Metrinės erdvės pildinys.
2.4. Įdėtųjų rutulių teorema.
2.5. Sutraukiantys atvaizdžiai.
2.6. Bero teorema apie kategorijas.
2.7. Separabilios metrinės erdvės.
2.8. Kompaktinės metrinių erdvių aibės. Arcela-Askolio teorema.
3. Tiesinės erdvės.
3.1. Tiesinės erdvės apibrėžimas, pavyzdžiai.
3.2. Hamelio bazė. Tiesinių erdvių sudarymas.
3.3. Tiesinių erdvių aibės ir funkcijos.
3.4. Hano-Banacho teorema.
4. Normuotos erdvės.
4.1. Apibrėžimas ir pavyzdžiai.
4.2. Normų ekvivalentumas. Izomorfinės erdvės.
4.3. Banacho erdvės.
5. Erdvės su skaliarine daugyba.
5.1. Euklidinės ir unitariosios erdvės.
5.2. Erdvių su skaliarine daugyba norma.
5.3. Hilberto erdvės.
5.4. Statmenumas.
5.5. Hiberto erdvės ortogonalusis dėstinys.

Dalyko studijos valandomis

Paskaitos 45 val.
Praktiniai darbai 30 val.
Savarankiškas darbas 85 val.
Iš viso: 160 val.

Studijų rezultatų vertinimas

Koliokviumas (25 %), Kontrolinis darbas (12,5 %), Matematinio teksto vertimas ir pristatymas (12,5%), Egzaminas (50%).

Literatūra

1. 2019 R. Kačinskaitė, Funkcinė analizė. Trumpi paskaitų konspektai VDU Moodle
2. 2007 V. Paulauskas, A. Račkauskas. Funkcinė analizė. I knyga. Erdvės. Vilnius: Vaistų žinios
3. 1992 E.T. Copson, Metric spaces Cambridge: Cambridge University Press
4. 2004 Y. Eidelman, V. Milman, A. Tsolomitis. Functional Analysis. An Introduction Providence RI: AMS
Papildoma literatūra
1. 2005 J.B. Conway. A Course in Functional Analysis. New York: Springer-Verlag
2. 2006 M.E. Taylor, Measure Theory and Integration. Providence RI: AMS